% 数学分析
% 高等代数
% 解析几何
% 概率论
% 常微分方程
% 数值分析
% 数学模型
% 数理统计
% 数学物理方程
% 运筹学
% 离散数学

% 会计学
% 经济学
% 数据库应用基础
% Python程序设计基础

% 统计软件
% 数学建模实验
% Python语言与数据挖掘
% 数量金融实验
% 数学写作

% 复变函数
% 微分几何
% 近世代数
% 实变函数
% 现代优化理论
% 微分方程数值解

% 编码理论基础
% 应用随机过程
% 金融数学
% 数理金融学
% 高等数学精讲

% 应用回归分析
% 统计计算
% 深度学习基础

% 非参数统计
% 应用时间序列分析
% 多元统计分析
% 统计机器学习导论
% 大模型理论与实践

% 数据挖掘专题
% 随机分析入门
% 数据可视化
% 数学与投资实践
% 随机运筹专题

% 请在刚才的基础上，按照上面的课程分类，补充各门课程中常见的、具有实际应用背景的数学模型，适用于数学建模教学、课程设计、竞赛准备、毕业论文选题与科研参考。输出为latex article代码格式，以便编译为pdf文档。

%第二版

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\title{数学模型分类清单（按课程科目）}
\author{通义千问、五六七}
\date{2025年10月14日}

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\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
本清单依据大学数学、统计、计算机及交叉学科课程体系，系统整理了各门课程中常见的、具有实际应用背景的数学模型。内容涵盖基础数学、应用数学、统计学、计算科学、金融与数据科学等领域，适用于数学建模教学、课程设计、竞赛准备、毕业论文选题与科研参考。每门课程下均列出典型模型，强调理论与实际结合，体现数学在现代科技中的核心作用。
\end{abstract}

\tableofcontents
\newpage

% 自定义 section 格式
\titleformat{\section}{\large\bfseries\raggedright}{\thesection}{1em}{}

\section{数学分析}

\begin{description}[align=left]
    \item[极值问题] 利用导数求解面积最大、成本最小、利润最高等优化问题
    \item[曲边梯形面积] 定积分模型用于计算不规则区域面积、做功、流体压力
    \item[旋转体体积] 通过积分计算花瓶、储油罐等旋转体的体积与表面积
    \item[弧长与曲率] 计算道路、桥梁、轨道的长度与弯曲程度
    \item[泰勒展开近似] 用多项式逼近复杂函数，用于工程计算与误差分析
    \item[傅里叶级数] 周期信号（如声波、交流电）的频谱分解与合成
    \item[变力做功] 积分模型计算弹簧拉伸、重力变化下的做功
    \item[液体压力] 积分计算水坝、船体所受流体静压力
\end{description}

\section{高等代数}

\begin{description}[align=left]
    \item[投入产出模型] Leontief 模型：$x = Ax + d$，描述部门间经济关系
    \item[马尔可夫链状态转移] 转移矩阵描述品牌忠诚度、人口迁移、网页排名（PageRank）
    \item[二次型优化] 利用特征值分析二次型极值，应用于投资组合风险分析
    \item[坐标变换] 通过矩阵变换实现图像旋转、缩放、投影（计算机图形学）
    \item[线性方程组应用] 电路网络（基尔霍夫定律）、化学方程配平、结构力学平衡
    \item[主成分分析（PCA）] 协方差矩阵特征分解实现降维
    \item[图的邻接矩阵] 用矩阵表示社交网络、交通网络，分析连通性与中心性
\end{description}

\section{解析几何}

\begin{description}[align=left]
    \item[行星轨道建模] 利用圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）描述天体在引力场中的运动轨迹
    \item[卫星定位几何] GPS 定位中的球面交点问题：通过四颗卫星的距离确定空间位置
    \item[光线反射与折射] 向量法建模镜面反射、斯涅尔折射定律
    \item[机器人运动学] 机械臂末端执行器的位置由空间直线与平面几何关系确定
    \item[建筑与设计] 黄金分割、对称性、透视投影的几何建模
    \item[计算机图形学基础] 三维物体在二维屏幕上的正交/透视投影变换
    \item[最小距离问题] 点到直线/平面、异面直线间最短距离的向量求解
    \item[二次曲面建模] 椭球面、双曲面、抛物面在冷却塔、雷达天线中的应用
\end{description}

\section{概率论}

\begin{description}[align=left]
    \item[经典分布] 二项分布（抽检）、泊松分布（稀有事件）、正态分布（测量误差）、指数分布（寿命）
    \item[中心极限定理] 大样本均值近似正态，用于质量控制、民意调查
    \item[大数定律] 频率稳定性解释，保险精算基础
    \item[随机游走] 一维对称游走、赌徒破产问题、股票价格路径模拟
    \item[更新过程] 事件间隔独立同分布的计数过程（如设备更换）
    \item[极限定理应用] 投票模型、保险理赔次数近似
    \item[贝叶斯推断] 利用先验更新后验概率，用于医学诊断、垃圾邮件过滤
\end{description}

\section{常微分方程}

\begin{description}[align=left]
    \item[人口增长模型] Malthus 指数增长 $\frac{dP}{dt} = rP$；Logistic 模型 $\frac{dP}{dt} = rP(1 - P/K)$
    \item[捕食者-猎物模型] Lotka-Volterra：$\frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta xy$, $\frac{dy}{dt} = \delta xy - \gamma y$
    \item[传染病模型] SIR 模型：$\frac{dS}{dt} = -\beta SI$, $\frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I$, $\frac{dR}{dt} = \gamma I$
    \item[药物动力学] 一室/二室模型，描述药物吸收、分布、代谢
    \item[追踪问题] 导弹追飞机、狗追兔子，路径满足微分方程
    \item[RLC电路] 二阶线性ODE：$L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}q = V(t)$
    \item[单摆运动] 非线性摆：$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0$
    \item[弹簧-质量-阻尼系统] $m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = F(t)$
    \item[悬链线] 重力作用下链条形状：$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{a}\sqrt{1 + (y')^2}$
    \item[最速下降线] Brachistochrone 问题，解为摆线
    \item[物体冷却] Newton 冷却定律：$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{env}})$
    \item[火箭飞行] 变质量运动：$m(t)\frac{dv}{dt} = -v_e\frac{dm}{dt} - mg$
    \item[宇宙速度] 二体问题，轨道为圆锥曲线
    \item[探照灯曲面] 旋转抛物面，满足反射定律
    \item[化学反应动力学] 反应速率方程，如 $A \to B$: $\frac{d[A]}{dt} = -k[A]$
    \item[神经元发放] FitzHugh-Nagumo 模型
    \item[经济模型] Solow 增长模型：$\frac{dK}{dt} = sY - \delta K$
    \item[肿瘤生长] Gompertz 模型
    \item[广告扩散] 新产品推广微分方程模型
\end{description}

\section{数值分析}

\begin{description}[align=left]
    \item[函数求根] 二分法、牛顿法用于求解非线性方程（如IRR计算）
    \item[插值] 拉格朗日/样条插值用于数据平滑、缺失值填补
    \item[数值积分] 梯形/Simpson法计算不规则区域面积、累积量
    \item[微分方程数值解] 欧拉法、Runge-Kutta法求解SIR、电路、轨道方程
    \item[矩阵分解] LU/QR/SVD用于线性系统求解、数据降维
    \item[线性方程组迭代法] Jacobi/Gauss-Seidel用于大规模稀疏系统
    \item[特征值计算] 幂法求主导特征值（如PageRank）
\end{description}

\section{数学模型}

\begin{description}[align=left]
    \item[人口模型] Malthus、Logistic、Leslie矩阵模型
    \item[交通流模型] 连续流模型、元胞自动机（CA）模拟拥堵
    \item[公平分配问题] 分蛋糕、遗产分配的数学建模
    \item[席位分配模型] Hamilton、Huntington-Hill方法
    \item[评价模型] 层次分析法（AHP）、TOPSIS、熵权法
    \item[预测模型] 灰色预测（GM(1,1)）、Logistic回归预测
    \item[仿真模型] 蒙特卡洛模拟风险、排队系统仿真
    \item[博弈模型] 囚徒困境、演化博弈用于社会行为分析
\end{description}

\section{数理统计}

\begin{description}[align=left]
    \item[参数估计] 极大似然估计（MLE）、矩估计用于分布参数推断
    \item[假设检验] t检验（均值）、卡方检验（独立性）、F检验（方差）
    \item[分布拟合] K-S检验、Q-Q图检验数据分布
    \item[方差分析] ANOVA分析实验因素影响
    \item[非参数检验] Wilcoxon、Kruskal-Wallis用于非正态数据
    \item[置信区间] 均值、比例、方差的区间估计
    \item[贝叶斯统计] 先验+数据→后验，用于小样本推断
\end{description}

\section{数学物理方程}

\begin{description}[align=left]
    \item[弦振动方程] $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$，用于乐器发声
    \item[热传导方程] $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$，材料热分布
    \item[Laplace/Poisson方程] 静电场、稳态温度场
    \item[波动方程] 声波、电磁波传播
    \item[薛定谔方程] 量子系统状态演化
    \item[Black-Scholes方程] 期权定价
    \item[Navier-Stokes方程] 流体流动（简化形式）
    \item[图像去噪] Perona-Malik各向异性扩散
\end{description}

\section{运筹学}

\begin{description}[align=left]
    \item[线性规划] 生产计划、资源分配、饮食问题
    \item[整数规划] 0-1规划：选址、背包、指派
    \item[动态规划] 最短路径、库存控制、资源分配
    \item[排队论] M/M/1、M/M/c 用于服务系统优化
    \item[博弈论] 纳什均衡、拍卖、竞标策略
    \item[网络流] 最大流、最小费用流、最短路径
    \item[库存模型] EOQ、报童问题
    \item[决策分析] 决策树、风险评估
\end{description}

\section{离散数学}

\begin{description}[align=left]
    \item[递推关系] 斐波那契数列、Hanoi塔、分治算法复杂度
    \item[计数方法] 排列组合、容斥原理用于密码学、概率计算
    \item[图论] 最短路径（Dijkstra）、最小生成树（Kruskal）、TSP
    \item[树] 二叉搜索树、决策树、哈夫曼编码
    \item[逻辑推理] 命题逻辑、谓词逻辑用于程序验证
    \item[自动机] 有限状态机建模协议、文本识别
    \item[布尔代数] 数字电路设计基础
\end{description}

\section{会计学}

\begin{description}[align=left]
    \item[折旧模型] 直线法、双倍余额递减法计算资产折旧
    \item[成本核算] 作业成本法（ABC）分配间接成本
    \item[财务比率分析] 流动比率、资产负债率、ROE等指标建模
    \item[盈亏平衡分析] 固定成本、变动成本与利润关系
    \item[现金流贴现] DCF模型评估投资项目
    \item[存货计价] FIFO、LIFO、加权平均法
\end{description}

\section{经济学}

\begin{description}[align=left]
    \item[供需模型] 线性/非线性供需曲线求均衡价格
    \item[生产函数] Cobb-Douglas模型：$Y = A K^\alpha L^\beta$
    \item[效用最大化] 消费者选择问题，拉格朗日乘子法求解
    \item[IS-LM模型] 宏观经济中利率与产出的均衡
    \item[经济增长模型] Solow模型、Ramsey-Cass-Koopmans模型
    \item[博弈论应用] 寡头竞争（Cournot、Bertrand）
    \item[计量经济模型] 回归分析估计经济关系
\end{description}

\section{数据库应用基础}

\begin{description}[align=left]
    \item[ER模型] 实体-关系图设计学生、订单、库存系统
    \item[关系代数] 选择、投影、连接操作用于查询建模
    \item[范式理论] 1NF、2NF、3NF、BCNF用于数据库规范化
    \item[SQL建模] 用SELECT语句实现统计、聚合、多表关联
    \item[数据完整性] 主键、外键、约束建模业务规则
\end{description}

\section{Python程序设计基础}

\begin{description}[align=left]
    \item[数值计算] 用NumPy实现向量/矩阵运算
    \item[数据处理] 用pandas进行数据清洗、筛选、分组
    \item[流程控制] 条件、循环建模算法逻辑（如排序、搜索）
    \item[函数封装] 将数学公式（如复利计算）封装为函数
    \item[文件读写] 读取CSV/Excel数据用于建模
    \item[简单仿真] 用random模块模拟抛硬币、掷骰子
\end{description}

\section{统计软件}

\begin{description}[align=left]
    \item[R/Python建模] 用R或Python实现回归、聚类、时间序列
    \item[数据可视化] ggplot2/matplotlib绘制统计图形
    \item[自动化分析] 编写脚本批量处理数据集
    \item[报告生成] R Markdown / Jupyter Notebook 生成可重复分析报告
    \item[包/库应用] 使用scikit-learn、statsmodels等库快速建模
\end{description}

\section{数学建模实验}

\begin{description}[align=left]
    \item[模型实现] 将理论模型（如SIR）编程实现
    \item[参数估计] 用数据拟合模型参数（如最小二乘）
    \item[敏感性分析] 改变参数观察模型输出变化
    \item[模型比较] AIC/BIC比较不同模型优劣
    \item[仿真平台] 使用MATLAB/Simulink进行系统仿真
\end{description}

\section{Python语言与数据挖掘}

\begin{description}[align=left]
    \item[文本分类] 用sklearn实现垃圾邮件识别
    \item[推荐系统] 协同过滤算法（基于用户/物品相似度）
    \item[情感分析] NLP技术分析评论情感倾向
    \item[图像识别] CNN识别手写数字（MNIST）
    \item[聚类分析] K-Means对客户分群
\end{description}

\section{数量金融实验}

\begin{description}[align=left]
    \item[资产定价] CAPM模型验证、Fama-French三因子模型
    \item[风险度量] VaR（风险价值）计算（历史法、正态法）
    \item[投资组合优化] Markowitz均值-方差模型求有效前沿
    \item[期权定价] 二叉树模型、蒙特卡洛模拟BS公式
    \item[高频交易模拟] 基于订单簿的交易策略回测
\end{description}

\section{数学写作}

\begin{description}[align=left]
    \item[论文结构] 摘要、引言、模型、求解、分析、结论
    \item[公式排版] 正确使用LaTeX数学环境
    \item[图表规范] 图题、表头、引用规范
    \item[文献引用] 使用BibTeX管理参考文献
    \item[逻辑表达] 清晰陈述建模假设与推理过程
\end{description}

\section{复变函数}

\begin{description}[align=left]
    \item[共形映照] Joukowski变换用于翼型设计
    \item[保角变换] 将复杂区域映射为简单区域求解PDE
    \item[复势理论] 二维流场的速度势与流函数
    \item[留数定理] 计算实积分（如$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx$）
\end{description}

\section{微分几何}

\begin{description}[align=left]
    \item[曲面应力分析] 高斯曲率分析穹顶、飞机外壳受力
    \item[广义相对论] 爱因斯坦场方程基于黎曼几何
    \item[地图投影] 墨卡托投影保持角度不变
    \item[机器人路径] 在SO(3)上规划旋转最短路径（测地线）
    \item[图像分割] 测地线活动轮廓模型
    \item[生物膜建模] Helfrich弯曲能量模型描述细胞膜形状
\end{description}

\section{近世代数}

\begin{description}[align=left]
    \item[群论应用] 分子对称性（化学）、晶体结构（物理）
    \item[环与域] 有限域（Galois域）用于编码理论
    \item[同构与同态] 结构保持映射，用于系统抽象
    \item[布尔代数] 数字电路与逻辑设计基础
\end{description}

\section{实变函数}

\begin{description}[align=left]
    \item[Lebesgue积分] 处理不连续信号（方波、脉冲）
    \item[测度论] 概率空间的数学基础
    \item[函数空间] $L^p$空间用于PDE弱解
    \item[收敛性] 控制收敛定理验证积分极限交换
    \item[广义函数] Dirac δ函数建模点电荷、瞬时冲击
\end{description}

\section{现代优化理论}

\begin{description}[align=left]
    \item[凸优化] 半定规划、Lasso回归
    \item[对偶理论] 拉格朗日对偶、KKT条件
    \item[内点法] 大规模优化问题求解
    \item[分布式优化] ADMM算法用于机器学习
    \item[鲁棒优化] 考虑不确定性参数的优化
\end{description}

\section{微分方程数值解}

\begin{description}[align=left]
    \item[有限差分法] 求解热传导、波动方程
    \item[有限元法] 复杂几何区域的PDE求解（如结构应力）
    \item[谱方法] 高精度求解光滑解PDE
    \item[时间推进] 显式/隐式格式稳定性分析
    \item[边界处理] Dirichlet、Neumann条件离散化
\end{description}

\section{编码理论基础}

\begin{description}[align=left]
    \item[纠错码] Hamming码、BCH码、Reed-Solomon码用于数据传输
    \item[线性码] 生成矩阵、校验矩阵建模编码过程
    \item[循环码] 利用多项式代数构造高效编码
    \item[信息论] 香农熵、信道容量模型
\end{description}

\section{应用随机过程}

\begin{description}[align=left]
    \item[泊松过程] 电话呼叫、顾客到达、放射性衰变
    \item[复合泊松过程] 保险理赔总额建模
    \item[更新过程] 设备更换、系统维护
    \item[马尔可夫链] 天气预测、品牌转换、排队系统
    \item[布朗运动] 股票价格路径（几何布朗运动）
    \item[分支过程] 种群灭绝概率
\end{description}

\section{金融数学}

\begin{description}[align=left]
    \item[无套利定价] 二叉树模型、风险中性测度
    \item[期权定价] Black-Scholes公式推导与应用
    \item[利率模型] Vasicek、CIR模型描述利率动态
    \item[信用风险] KMV模型、CreditMetrics
    \item[投资组合理论] 均值-方差分析、CAPM
\end{description}

\section{数理金融学}

\begin{description}[align=left]
    \item[随机微分方程] 建模资产价格动态（如GBM）
    \item[伊藤引理] 随机过程函数的微分规则
    \item[测度变换] Girsanov定理用于风险中性定价
    \item[衍生品定价] 期权、期货、互换的数学建模
    \item[对冲策略] Delta对冲、动态复制
\end{description}

\section{高等数学精讲}

\begin{description}[align=left]
    \item[极限应用] 连续复利计算 $\lim_{n\to\infty}(1 + r/n)^n = e^r$
    \item[导数应用] 边际成本、边际收益、弹性分析
    \item[积分应用] 消费者剩余、生产者剩余计算
    \item[微分方程] 经济增长、人口模型精讲
    \item[多元函数] 偏导数用于多因素影响分析
\end{description}

\section{应用回归分析}

\begin{description}[align=left]
    \item[线性回归] 房价预测、销售影响因素分析
    \item[逻辑回归] 信用评分、疾病预测
    \item[岭回归/Lasso] 处理多重共线性与变量选择
    \item[非线性回归] 指数增长、S型曲线拟合
    \item[分位数回归] 分析条件分布的中位数或分位数
\end{description}

\section{统计计算}

\begin{description}[align=left]
    \item[EM算法] 处理缺失数据、混合模型参数估计
    \item[MCMC方法] Metropolis-Hastings、Gibbs采样用于贝叶斯推断
    \item[Bootstrap] 重采样估计标准误与置信区间
    \item[Jackknife] 减少估计偏差
    \item[数值优化] 牛顿法、BFGS求解MLE
\end{description}

\section{深度学习基础}

\begin{description}[align=left]
    \item[前馈网络] MLP用于分类与回归
    \item[卷积网络] CNN用于图像识别、目标检测
    \item[循环网络] RNN/LSTM用于时间序列预测、文本生成
    \item[自编码器] 用于降维、异常检测
    \item[生成模型] GAN、VAE生成新数据
\end{description}

\section{非参数统计}

\begin{description}[align=left]
    \item[秩检验] Wilcoxon、Mann-Whitney用于非正态数据
    \item[核密度估计] 估计未知分布密度函数
    \item[局部回归] LOWESS平滑数据
    \item[符号检验] 非参数假设检验
    \item[置换检验] 无需分布假设的显著性检验
\end{description}

\section{应用时间序列分析}

\begin{description}[align=left]
    \item[ARIMA/SARIMA] 预测GDP、销售额、气温
    \item[GARCH] 金融波动率建模
    \item[状态空间模型] Kalman滤波用于导航、经济指标估计
    \item[协整分析] 分析非平稳变量间的长期关系
    \item[结构时间序列] 分解趋势、季节、周期成分
\end{description}

\section{多元统计分析}

\begin{description}[align=left]
    \item[主成分分析（PCA）] 降维、特征提取
    \item[因子分析] 潜在变量建模（如心理测验）
    \item[聚类分析] K-Means、层次聚类客户分群
    \item[判别分析] LDA用于分类
    \item[典型相关] 两组变量间关系
    \item[对应分析] 类别数据可视化
\end{description}

\section{统计机器学习导论}

\begin{description}[align=left]
    \item[监督学习] 线性回归、逻辑回归、SVM、随机森林
    \item[无监督学习] K-Means、PCA、层次聚类
    \item[模型选择] 交叉验证、AIC/BIC
    \item[过拟合控制] 正则化、早停
    \item[集成方法] Bagging、Boosting（如XGBoost）
\end{description}

\section{大模型理论与实践}

\begin{description}[align=left]
    \item[Transformer架构] 自注意力机制建模长程依赖
    \item[预训练与微调] BERT、GPT等模型迁移学习
    \item[提示工程] 设计Prompt提升模型输出质量
    \item[微调技术] LoRA、Adapter用于高效适配
    \item[评估指标] BLEU、ROUGE、Perplexity
\end{description}

\section{数据挖掘专题}

\begin{description}[align=left]
    \item[异常检测] 孤立森林、Autoencoder识别欺诈
    \item[图神经网络] GNN用于社交网络、推荐系统
    \item[流数据挖掘] 在线学习处理实时数据流
    \item[因果推断] 用Do-Calculus、PSM分析因果效应
    \item[可解释AI] SHAP、LIME解释黑箱模型
\end{description}

\section{随机分析入门}

\begin{description}[align=left]
    \item[随机积分] Itô积分定义与性质
    \item[随机微分方程] 建模受噪声影响的动态系统
    \item[伊藤公式] 随机过程函数的微分
    \item[鞅理论] 公平博弈、金融无套利基础
    \item[应用] 期权定价、利率模型、滤波理论
\end{description}

\section{数据可视化}

\begin{description}[align=left]
    \item[静态图表] 折线图、柱状图、散点图、热力图
    \item[交互式可视化] Plotly、Tableau实现动态探索
    \item[地理信息] 地图可视化（如choropleth map）
    \item[高维数据] t-SNE、UMAP降维可视化
    \item[仪表盘] Dash、Shiny构建数据分析看板
\end{description}

\section{数学与投资实践}

\begin{description}[align=left]
    \item[资产配置] 均值-方差优化、风险平价策略
    \item[量化选股] 多因子模型（价值、动量、质量）
    \item[回测系统] 用历史数据验证交易策略
    \item[风险管理] VaR、CVaR、最大回撤控制
    \item[算法交易] 市场微观结构建模与执行策略
\end{description}

\section{随机运筹专题}

\begin{description}[align=left]
    \item[随机规划] 考虑需求不确定的生产计划
    \item[鲁棒优化] 对抗最坏情况的决策
    \item[排队网络] Jackson网络用于多服务台系统
    \item[库存模型] $(s,S)$ 策略、报童问题扩展
    \item[随机动态规划] 解决不确定性下的序贯决策
\end{description}

\end{document}



% 第一版
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% \title{数学模型分类清单（按课程科目）}
% \author{通义千问、五六七}
% %\date{2025年10月14日}

% \begin{document}

% \maketitle

% \abstract{%section*{说明}
% 本清单按大学数学与统计类课程分类，汇总了各课程中常见的、具有实际应用背景的数学模型，适用于数学建模教学、课程设计、竞赛准备、论文选题与科研参考。
% }

% \tableofcontents

% \newpage

% \section{常微分方程（ODE）}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[人口增长模型] Malthus 指数增长模型 $\frac{dP}{dt} = rP$；Logistic 模型 $\frac{dP}{dt} = rP(1 - P/K)$
%     \item[捕食者-猎物模型] Lotka-Volterra 模型：$\frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta xy$, $\frac{dy}{dt} = \delta xy - \gamma y$
%     \item[传染病模型] SIR 模型：$\frac{dS}{dt} = -\beta SI$, $\frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I$, $\frac{dR}{dt} = \gamma I$
%     \item[药物动力学] 一室/二室模型，描述药物在体内的吸收、分布、代谢
%     \item[追踪问题] 导弹追飞机、狗追兔子，路径满足微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{v_2 t - y}{v_1 t - x}$
%     \item[RLC电路] 二阶线性ODE：$L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}q = V(t)$
%     \item[单摆运动] 非线性摆：$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0$，小角度近似为简谐振动
%     \item[弹簧-质量-阻尼系统] $m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = F(t)$
%     \item[悬链线] 重力作用下链条形状：$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{a}\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$
%     \item[最速下降线] Brachistochrone 问题，解为摆线
%     \item[物体冷却] Newton 冷却定律：$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{env}})$
%     \item[火箭飞行] 考虑质量变化的变质量运动：$m(t)\frac{dv}{dt} = -v_e\frac{dm}{dt} - mg$
%     \item[宇宙速度] 二体问题，轨道为圆锥曲线，推导第一、第二宇宙速度
%     \item[探照灯曲面] 旋转抛物面，满足反射定律，导出微分方程
%     \item[化学反应动力学] 反应速率方程，如 $A \to B$: $\frac{d[A]}{dt} = -k[A]$
%     \item[神经元发放] Izhikevich 模型、FitzHugh-Nagumo 模型
%     \item[经济模型] Solow 增长模型：$\frac{dK}{dt} = sY - \delta K$
%     \item[肿瘤生长] Gompertz 模型、Logistic 模型描述肿瘤体积变化
%     \item[广告扩散] 新产品推广的微分方程模型
%     \item[传染病控制] 加入隔离、疫苗项的SIR变体
% \end{description}

% \section{偏微分方程（PDE）}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[弦振动方程] 一维波动方程：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
%     \item[热传导方程] 扩散方程：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$
%     \item[静电场方程] Laplace 方程：$\nabla^2 \phi = 0$；Poisson 方程：$\nabla^2 \phi = -\rho/\varepsilon_0$
%     \item[流体动力学] Euler 方程、Navier-Stokes 方程（简化形式）
%     \item[电磁场] Maxwell 方程组（波动形式）
%     \item[金融数学] Black-Scholes 方程：$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$
%     \item[人口扩散] 带扩散项的人口模型：$\frac{\partial u}{\partial t} = D \nabla^2 u + f(u)$
%     \item[图像处理] 各向异性扩散滤波（Perona-Malik 方程）
%     \item[声波传播] 三维波动方程
%     \item[量子力学] 薛定谔方程（时间相关与无关）
%     \item[边界值问题] Dirichlet、Neumann、Robin 问题
% \end{description}

% \section{复变函数}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[共形映照] 用于流体力学、静电场、热传导中的区域变换（如 Joukowski 变换）
%     \item[保角变换] 将复杂区域映射为简单区域（如上半平面、单位圆）
%     \item[复势理论] 二维无旋无源流场的速度势与流函数
%     \item[解析函数的应用] 在弹性力学、空气动力学中的应用
% \end{description}

% \section{概率论}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[经典分布] 二项分布、泊松分布、几何分布、负二项分布、正态分布、指数分布、伽马分布、贝塔分布
%     \item[中心极限定理] 独立同分布随机变量和的渐近正态性
%     \item[大数定律] 弱大数定律、强大数定律
%     \item[随机游走] 一维对称随机游走、赌徒破产问题
%     \item[更新过程] 事件间隔独立同分布的计数过程
%     \item[极限定理应用] 投票模型、保险理赔次数近似
% \end{description}

% \section{数理统计}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[参数估计] 极大似然估计（MLE）、矩估计、贝叶斯估计
%     \item[假设检验] Z检验、t检验、卡方检验、F检验
%     \item[分布拟合] Kolmogorov-Smirnov 检验、Anderson-Darling 检验
%     \item[方差分析] 单因素、多因素ANOVA
%     \item[非参数检验] Wilcoxon 秩和检验、Kruskal-Wallis 检验
%     \item[置信区间] 均值、方差、比例的区间估计
% \end{description}

% \section{应用随机过程}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[泊松过程] 事件到达模型：电话呼叫、顾客到达、放射性衰变
%     \item[复合泊松过程] 带随机幅度的到达过程（如保险理赔总额）
%     \item[更新过程] 一般间隔时间的事件过程
%     \item[马尔可夫链] 离散时间：天气模型、品牌转换；连续时间：生灭过程、排队系统
%     \item[布朗运动] 标准布朗运动、几何布朗运动（金融资产价格）
%     \item[分支过程] Galton-Watson 模型，描述种群灭绝概率
%     \item[高斯过程] 用于回归、空间统计
% \end{description}

% \section{运筹学}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[线性规划] 生产计划、资源分配、饮食问题
%     \item[整数规划] 0-1规划：选址问题、背包问题、指派问题
%     \item[动态规划] 最短路径、资源分配、库存控制
%     \item[排队论] M/M/1、M/M/c、M/G/1 模型，用于服务系统优化
%     \item[博弈论] 零和博弈、纳什均衡、囚徒困境、拍卖模型
%     \item[网络流] 最大流、最小费用流、最短路径（Dijkstra）
%     \item[库存模型] EOQ 模型、报童问题
%     \item[决策分析] 决策树、风险评估
% \end{description}

% \section{数值计算}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[函数求根] 二分法、牛顿法、割线法
%     \item[插值] 拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值
%     \item[数值积分] 梯形法、Simpson法、Gauss积分
%     \item[微分方程数值解] 欧拉法、Runge-Kutta法、有限差分法
%     \item[矩阵分解] LU分解、QR分解、Cholesky分解、SVD
%     \item[线性方程组求解] Jacobi、Gauss-Seidel迭代法
%     \item[特征值计算] 幂法、QR算法
% \end{description}

% \section{最优化方法}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[无约束优化] 最速下降法、牛顿法、共轭梯度法
%     \item[线搜索] 黄金分割法、斐波那契法
%     \item[约束优化] 拉格朗日乘子法、KKT条件、内点法
%     \item[最小二乘法] 线性与非线性最小二乘
%     \item[凸优化] 半定规划、Lasso回归
%     \item[全局优化] 模拟退火、禁忌搜索
% \end{description}

% \section{离散数学}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[集合与关系] 等价关系、偏序关系
%     \item[递推关系] 斐波那契数列、Hanoi塔问题
%     \item[计数方法] 排列组合、容斥原理、生成函数
%     \item[图论] 最短路径、最小生成树（Kruskal, Prim）、图着色、旅行商问题（TSP）
%     \item[树] 二叉树、搜索树、决策树
%     \item[网络模型] 流网络、社交网络分析
% \end{description}

% \section{回归分析}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[一元线性回归] 简单因果关系建模
%     \item[多元线性回归] 多因素影响分析
%     \item[含定性变量的回归] 虚拟变量（Dummy Variables）模型
%     \item[非线性回归] 指数回归、多项式回归
%     \item[逻辑回归] 二分类问题，如疾病预测
%     \item[岭回归与Lasso] 处理多重共线性与特征选择
% \end{description}

% \section{时间序列分析}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[ARIMA模型] 自回归积分滑动平均模型，用于预测
%     \item[SARIMA] 季节性ARIMA
%     \item[频谱分析] 傅里叶变换、功率谱密度
%     \item[滤波] Kalman滤波、低通/高通滤波
%     \item[GARCH模型] 金融时间序列波动率建模
%     \item[状态空间模型] 用于动态系统建模
% \end{description}

% \section{多元统计分析}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[主成分分析（PCA）] 降维与特征提取
%     \item[因子分析] 潜在变量建模
%     \item[聚类分析] K-Means、层次聚类、DBSCAN
%     \item[判别分析] Fisher线性判别（LDA）、二次判别（QDA）
%     \item[对应分析] 类别数据的可视化
%     \item[典型相关分析] 两组变量间的关系
% \end{description}

% \section{数据可视化}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[类别数据] 条形图、饼图、马赛克图
%     \item[分布特征] 直方图、密度图、箱线图、Q-Q图
%     \item[样本相似性] 散点图矩阵、热力图、多维尺度分析（MDS）
%     \item[时间序列] 折线图、季节性分解图、小波图
%     \item[高维数据] 平行坐标图、雷达图、t-SNE、UMAP
% \end{description}

% \section{数据挖掘}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[数据预处理] 缺失值处理、标准化、特征工程
%     \item[分类] 决策树、随机森林、SVM、朴素贝叶斯
%     \item[聚类] K-Means、层次聚类、谱聚类
%     \item[关联规则] Apriori算法、购物篮分析
%     \item[离群点检测] 孤立森林、LOF、One-Class SVM
%     \item[降维] PCA、t-SNE、Autoencoder
% \end{description}

% \section{智能算法}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[遗传算法（GA）] 全局优化、参数调优
%     \item[粒子群优化（PSO）] 连续优化问题
%     \item[模拟退火（SA）] 避免局部最优
%     \item[神经网络] MLP、RNN、LSTM 用于函数逼近与预测
%     \item[卷积神经网络（CNN）] 图像识别、目标检测
%     \item[生成对抗网络（GAN）] 图像生成、数据增强
%     \item[Transformer] 自然语言处理、时间序列预测
%     \item[扩散模型] 图像生成新范式
%     \item[强化学习] Q-learning、DQN，用于决策控制
%     \item[贝叶斯网络] 不确定性推理、因果建模
% \end{description}


% \section{解析几何}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[行星轨道建模] 利用圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）描述天体在引力场中的运动轨迹
%     \item[卫星定位几何] GPS 定位中的球面交点问题：通过四颗卫星的距离确定空间位置（球面相交求解）
%     \item[光线反射与折射] 利用向量与平面几何建模镜面反射（入射角=反射角）、斯涅尔折射定律
%     \item[机器人运动学] 机械臂末端执行器的位置与姿态由空间直线与平面的几何关系确定
%     \item[建筑与设计] 建筑结构中的对称性、黄金分割、透视投影的几何建模
%     \item[计算机图形学基础] 三维物体在二维屏幕上的投影变换（正交投影、透视投影）
%     \item[最小距离问题] 点到直线/平面的距离、两异面直线间最短距离的向量求解
%     \item[二次曲面建模] 椭球面、双曲面、抛物面在工程设计（如冷却塔、雷达天线）中的应用
% \end{description}

% \section{微分几何}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[曲面应力分析] 在弹性力学中，利用高斯曲率与平均曲率分析薄壳结构（如穹顶、飞机外壳）的受力分布
%     \item[广义相对论中的时空模型] 爱因斯坦场方程基于黎曼几何，将引力解释为时空曲率
%     \item[地图投影与导航] 地球曲面到平面的共形映射（如墨卡托投影），保持角度不变
%     \item[机器人路径规划] 在非欧空间（如球面、旋转群 SO(3)）中规划最短路径（测地线）
%     \item[图像处理中的活动轮廓] 使用曲线演化方程（如测地线活动轮廓）进行图像分割
%     \item[生物膜形状建模] 细胞膜、病毒外壳的形状由极小曲面或 Helfrich 弯曲能量模型描述
%     \item[测地线导航] 飞机、船舶在地球表面沿测地线（大圆弧）航行以实现最短路径
%     \item[刚体旋转动力学] 角速度、惯性张量与旋转群 SO(3) 上的微分几何结构
% \end{description}

% \section{实变函数}

% \begin{description}[align=left]
%     \item[信号的可积性分析] 利用 Lebesgue 积分判断非连续信号（如方波、脉冲）的可积性与傅里叶级数收敛性
%     \item[概率论的测度基础] 概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 是测度空间的特例，随机变量为可测函数
%     \item[分形集合的测度] Cantor 集、Sierpinski 三角形的 Lebesgue 测度为零，但具有非整数 Hausdorff 维数
%     \item[不连续函数的积分建模] 物理中的点电荷、瞬时冲击力（Dirac δ 函数）通过广义函数与测度理论处理
%     \item[函数空间建模] $L^p$ 空间在偏微分方程弱解、信号处理中的应用（如能量有限信号属于 $L^2$）
%     \item[收敛性分析] 控制收敛定理、单调收敛定理用于极限与积分交换的合法性验证（如物理近似模型）
%     \item[噪声建模] 白噪声作为广义随机过程，其数学基础依赖于测度与分布理论
% \end{description}




% \end{document}
